ベイズの定理（続々編）

はじめに
尤度比やオッズを用いた式を導く
参考文献

はじめに

　以前、ベン図から「事後オッズ＝尤度比×事前オッズ」までを導いた。その後、複雑な確率と感度、特異度の式からオッズと尤度比の式を導いた。今回はシンプルに、基本のP（病｜検）＝ P（検｜病）× P（病） /P（検）の式からオッズと尤度比の式を導いてみたいと思う。

ベイズの定理

ベイズの定理（続）

尤度比やオッズを用いた式を導く

①　P（病｜検）＝ P（検｜病）× P（病） /P（検）

　まず、確率からオッズの式にするわけなので、左辺をオッズにしてしまう。つまり、両辺を１－P（病｜検）で割る。

②　P（病｜検） /[１－P（病｜検）] ＝ [P（検｜病）× P（病）] /｛P（検）×［１－P（病｜検）］｝

　上記の右辺に事前オッズを作りたいので分子のP（病）を［１－P（病）］で割って、分母も［１－P（病）］で割って整理する。

③　P（病｜検） /［１－P（病｜検）] ＝｛P（病） /［１－P（病）］｝×〈｛P（検｜病）×［１－P（病）］｝ /｛P（検）×［１－P（病｜検）］｝〉

　③の左辺であるP（病｜検） /［１－P（病｜検）] は事後オッズを示し、右辺のP（病）/［１－P（病）］は事前オッズを示し、P（検｜病）の部分は感度なので置き換える。

④　事後オッズ＝事前オッズ×｛感度×［１－P（病）］｝ /｛P（検）×［１－P（病｜検）］｝
　　　　　　　＝事前オッズ×感度 /〈｛P（検）×［１－P（病｜検）］｝ /［１－P（病）］〉

　ここで、分母の｛P（検）×［１－P（病｜検）］｝/［１－P（病）］について整理する。理屈上は、これが1－特異度になっていると信じて計算すればいい。2×2表（※）の記号を用いて置き換えると以下のようになる。

（※）	疾患あり	疾患なし
検査陽性	a	b	a+b
検査陰性	c	d	c+d
	a+c	b+d	a+b+c+d

｛P（検）×［１－P（病｜検）］｝ /［１－P（病）］
＝ {[(a+b) /(a+b+c+d)]×[1-a/(a+b)]}/[1-(a+c) /(a+b+c+d)]
＝ {[(a+b)/(a+b+c+d)]×[b/(a+b)]}/[(b+d)/(a+b+c+d)]
＝ b/(b+d)
＝ 1-d/(b+d)
＝ 1-特異度

したがって、④の式は以下のように示される。見慣れた式へ変形完了。

④　事後オッズ＝事前オッズ×（感度/1-特異度）
　　　　　　　＝陽性尤度比×事前オッズ

　陰性尤度比の場合も基本の考え方は同じなので省略。

　確認しただけなので、何も前進はしていない。気のせいかもしれないが、それでも何かが整いつつあるような気もする。まあ、それだけでも意味はあるだろう。

参考文献

特になし